一：基礎知識
1. 1度(0)等於60分(')，1分(') = 60秒('')
2. 畢氏定理 ；在一個直角三角形中，斜邊的平方 = 兩條直角夾角邊的平方之和
即： (斜邊)^2 = (夾角邊)^2 + (夾角邊)^2
3. 證明一個三角形是否是一個直角三角形。方法如下：
先求最長的邊的平方的值，結果 = y (計算後的值)
再求另外兩條邊的平方之和 ，結果 = x (計算後的值)
a. 若 y = x ，則這條最長邊的對角是一個直角，這個三角形是直角三角形。(畢氐定理的逆定理)
b. 若 y 不等於 x，這個三角形不是直角三角形。(畢氐定理的逆定理)
二：三角比
在一個直角三角形中，除直角外的其中一個內角 x。
a. 角x的正弦，即 sin x = (角x的對邊 ) / 斜邊 。
--->若x的值由0度慢慢增加至90度，則 sin x的值是由0增大至1。
b. 角x的餘弦，即 cos x = (角x的鄰邊) / 斜邊。
--->若x的值由0度慢慢增加至90度，則 cos x 的值是由1減少至 0。
c. 角x的正切，即 tan x = (角x的對邊 ) / (角x的鄰邊 ) 。
--->若x的值由0度慢慢增加至90度，則 tan x 的值是由0增大至很大的正數值，當 tan 90度 時是未下定義。
三：題目類型
a. 已知一個角(x)，求該角的三個三角比值( sin x = ？，cos x = ？及 tan x = ？)
b. 已知三角比值，求該角的值。(運用等價關係 )
例如：
1. sin x = 0.5 --> 意思是某個角的正弦比值 = 0.5 ，求這個角。
x = sin^-1 ( 0.5)
x = 30度
2. sin (x + 5度 ) = 0.5
(x + 5度) = sin^-1(0.5)
x + 5度 = 30度
x = 25度。
3. sin (x + 5度 ) - 0.2 = 0.3
sin (x + 5度 ) = 0.5
(x + 5度) = sin^-1(0.5)
x + 5度 = 30度
x = 25度。
4. 另外有兩個三角比的運算亦有相同的形式。
c. 在一個直角形三角形，利用三個三角比的定義去求未知量。
sin x = (角x的對邊 ) / 斜邊
cos x = (角x的鄰邊) / 斜邊
tan x = (角x的對邊 ) / (角x的鄰邊 )
由於以上三條式，都有三個未知量，若要求當中一個，另外兩個需要給出值(可以直接給出，亦可以間接給出-->透過另一個三角比，或畢氐定理去求未知條件)
d. 綜合題：多過一次運用三角比的關係去完成的題目。
備注：看清三角形，角與邊的關係，用對相關的三角比，小心計算，用計算機要留意，自然迎刃而解。
2008年5月28日 星期三
中三_四邊形的特性_中點定理和截線定理
二：中點定理
任意構造一個三角形ABC，其中任意兩條邊AB和AC的中點分別是P和Q，將PQ相連成一直線。
因為：AP = PB及AQ = QC，
則： PQ //BC (中點定理)
及 PQ = 1/2 BC (中點定理 )
證明以上的結論，可以運用平行四邊形的性質去完成。
(由於AB不一定等於AC，所以AP不一定等於AQ，它們相等只是在特殊情況下發生的。)
在做練習時，要留意題目的條件是否正確，否則便會用錯定理。
三：截線定理
直線L1//L2//L3，這三條直線被兩條截線XY和WZ所截且分別相交於P﹑Q﹑R和H﹑K﹑J。
即：如果L1//L2//L3，
則：PQ：QR = HK：KJ (截線定理 )
證明以上的結論，可以運用平行四邊形的性質去完成。
備注：在做有關的數學題，通常容易將以上的兩個定理用錯，以下有一個小提示：
若果題目提及有兩條或兩條以上的平行線，而又知道其中一條截線的比例，則建先考慮用截線定理去解題。
-->運用其性質，比例相等去求其它截線的比；或 利用相似三角形的對應邊性質。
若截線的比例剛好是1：1。則可以求另外截線的比例，再運用中點定理去求另外的未知量。
看清條件，大膽去試，小心驗證-->是做數學的必要因素！
任意構造一個三角形ABC，其中任意兩條邊AB和AC的中點分別是P和Q，將PQ相連成一直線。
因為：AP = PB及AQ = QC，
則： PQ //BC (中點定理)
及 PQ = 1/2 BC (中點定理 )
證明以上的結論，可以運用平行四邊形的性質去完成。
(由於AB不一定等於AC，所以AP不一定等於AQ，它們相等只是在特殊情況下發生的。)
在做練習時，要留意題目的條件是否正確，否則便會用錯定理。
三：截線定理
直線L1//L2//L3，這三條直線被兩條截線XY和WZ所截且分別相交於P﹑Q﹑R和H﹑K﹑J。
即：如果L1//L2//L3，
則：PQ：QR = HK：KJ (截線定理 )
證明以上的結論，可以運用平行四邊形的性質去完成。
備注：在做有關的數學題，通常容易將以上的兩個定理用錯，以下有一個小提示：
若果題目提及有兩條或兩條以上的平行線，而又知道其中一條截線的比例，則建先考慮用截線定理去解題。
-->運用其性質，比例相等去求其它截線的比；或 利用相似三角形的對應邊性質。
若截線的比例剛好是1：1。則可以求另外截線的比例，再運用中點定理去求另外的未知量。
看清條件，大膽去試，小心驗證-->是做數學的必要因素！
中三_四邊形的特性
一：四邊形的分類
1. 没有平行邊的四邊形的分類
A. 不規則四邊形
B.鳶形，它的定義：兩對相鄰的邊相等的四邊形
它的性質：
(i) 兩對相鄰的邊分別相等；
(ii) 對角線互相垂直；
(iii) 其中一條對角線是圖形的對稱軸。
證明一個四邊形是一個鳶形，利用鳶形定義，即其中兩對鄰邊分別相等的四邊形。
2. 有平行邊的四邊形的分類
A. 梯形，它的定義：有一對對邊平行的四邊形
它的性質：有一對對邊平行；
利用其性質可以計算同旁內角的角度，若梯形的兩條腰相等-->等腰梯形，故底角相等(等腰梯形性質。
證明一個四邊形是一個梯形，利用梯形定義，即其中一對對邊平行的四邊形。
B.平行四邊形，它的定義：有兩對對邊平行的四邊形
它的性質：
(i) 兩對對邊的長度相等-->平行四邊形的對邊；
(ii) 兩對對角分別相等--> 平行四邊形的對角；
(iii) 兩條對角線互相平分-->平行四邊形的對角線；
若要證明以上三個性質，可以利用全等三角形的性質。
若證明一個四邊形是一個平行四邊形，可以用以下其中一個方法：
(i) 平行四邊形的定義 (兩對對邊分別平行 )；
(ii) 對角線互相平分；(對角線平分)
(iii) 兩對對邊分別相等；(對邊相等)
(iv) 兩對對角分別相等；(對角相等)
(v) 一對對邊平行且相等；(對邊平行且相等)
當中涉及證明
-->平行線 ( 運用：同位角相等﹑同旁內角互補﹑錯角相等)
-->邊長相等及角度相等 (運用：全等三角形﹑相似三角形 )
B.1長方形(一個特殊的平行四邊形)，它的定義：每個內角是都是直角的平行四邊形。 (其中一個內角是直角，其餘的自然成立)
它的性質：
(i) 所有平行四邊形的性質；
(ii) 對角線相等。 --> (長方形性質)
證明一個四邊形是一個長方形，需要證明以下兩部分內容：
(i) 該四邊形是一個平行四邊形；及
(ii) 該四邊形的其中一隻內角等於90度。
-->理由：有一個內角是直角的平行四邊形 或 長方形定義。
B.2菱形(一個特殊的平行四邊形)，它的定義：四條邊相等的四邊形-->由此知它也是一個平行四邊形(對邊相等的四邊形)，故菱形的定義可以進一步寫成：四條邊相等的平行四邊形。
它的性質：
(i) 所有平行四邊形的性質；
(ii) 對角線平分各內角；(菱形性質)
(iii) 對角線互相垂直。(菱形性質)
證明一個四邊形是一個菱形，需要證明以下兩部分內容：
(i) 該四邊形是一個平行四邊形；及
(ii) 該四邊形的鄰邊相等。
理由：鄰邊相等的平行四邊形 或 菱形定義
B13 正方形(一個特殊的長方形)，它可以被定義為四邊相等的長方形。
B23 正方形(一個特殊的菱形) ，它可以被定義為所有內角是直角的菱形。
由此正方形的定義-->四邊相等且所有內角是直角的平行四邊形。
它的性質：
(i) 所有長方形和菱形的性質；
(ii) 每條對角線與每條邊成45度。(正方形性質)
證明一個四邊形是一個正方形，可以用以下三個方法：
(i) 先證明它是一個長方形，再證明這個長方形是鄰邊相等。-->鄰邊相等的長方形
(ii) 先證明它是一個菱形，再證明這個菱形的其中一隻內角是90度。-->一隻內角是直角的菱形
(iii) 先證明它是一個平行四邊形，再分別證明它的鄰邊相等及其中一隻內角是90度。--->正方形定義 (四邊相等且所有內角是直角的平行四邊形)
1. 没有平行邊的四邊形的分類
A. 不規則四邊形
B.鳶形，它的定義：兩對相鄰的邊相等的四邊形
它的性質：
(i) 兩對相鄰的邊分別相等；
(ii) 對角線互相垂直；
(iii) 其中一條對角線是圖形的對稱軸。
證明一個四邊形是一個鳶形，利用鳶形定義，即其中兩對鄰邊分別相等的四邊形。
2. 有平行邊的四邊形的分類
A. 梯形，它的定義：有一對對邊平行的四邊形
它的性質：有一對對邊平行；
利用其性質可以計算同旁內角的角度，若梯形的兩條腰相等-->等腰梯形，故底角相等(等腰梯形性質。
證明一個四邊形是一個梯形，利用梯形定義，即其中一對對邊平行的四邊形。
B.平行四邊形，它的定義：有兩對對邊平行的四邊形
它的性質：
(i) 兩對對邊的長度相等-->平行四邊形的對邊；
(ii) 兩對對角分別相等--> 平行四邊形的對角；
(iii) 兩條對角線互相平分-->平行四邊形的對角線；
若要證明以上三個性質，可以利用全等三角形的性質。
若證明一個四邊形是一個平行四邊形，可以用以下其中一個方法：
(i) 平行四邊形的定義 (兩對對邊分別平行 )；
(ii) 對角線互相平分；(對角線平分)
(iii) 兩對對邊分別相等；(對邊相等)
(iv) 兩對對角分別相等；(對角相等)
(v) 一對對邊平行且相等；(對邊平行且相等)
當中涉及證明
-->平行線 ( 運用：同位角相等﹑同旁內角互補﹑錯角相等)
-->邊長相等及角度相等 (運用：全等三角形﹑相似三角形 )
B.1長方形(一個特殊的平行四邊形)，它的定義：每個內角是都是直角的平行四邊形。 (其中一個內角是直角，其餘的自然成立)
它的性質：
(i) 所有平行四邊形的性質；
(ii) 對角線相等。 --> (長方形性質)
證明一個四邊形是一個長方形，需要證明以下兩部分內容：
(i) 該四邊形是一個平行四邊形；及
(ii) 該四邊形的其中一隻內角等於90度。
-->理由：有一個內角是直角的平行四邊形 或 長方形定義。
B.2菱形(一個特殊的平行四邊形)，它的定義：四條邊相等的四邊形-->由此知它也是一個平行四邊形(對邊相等的四邊形)，故菱形的定義可以進一步寫成：四條邊相等的平行四邊形。
它的性質：
(i) 所有平行四邊形的性質；
(ii) 對角線平分各內角；(菱形性質)
(iii) 對角線互相垂直。(菱形性質)
證明一個四邊形是一個菱形，需要證明以下兩部分內容：
(i) 該四邊形是一個平行四邊形；及
(ii) 該四邊形的鄰邊相等。
理由：鄰邊相等的平行四邊形 或 菱形定義
B13 正方形(一個特殊的長方形)，它可以被定義為四邊相等的長方形。
B23 正方形(一個特殊的菱形) ，它可以被定義為所有內角是直角的菱形。
由此正方形的定義-->四邊相等且所有內角是直角的平行四邊形。
它的性質：
(i) 所有長方形和菱形的性質；
(ii) 每條對角線與每條邊成45度。(正方形性質)
證明一個四邊形是一個正方形，可以用以下三個方法：
(i) 先證明它是一個長方形，再證明這個長方形是鄰邊相等。-->鄰邊相等的長方形
(ii) 先證明它是一個菱形，再證明這個菱形的其中一隻內角是90度。-->一隻內角是直角的菱形
(iii) 先證明它是一個平行四邊形，再分別證明它的鄰邊相等及其中一隻內角是90度。--->正方形定義 (四邊相等且所有內角是直角的平行四邊形)
中二_面積和體積
一：周界 = 密封該圖形的所有邊長之和。
二：基礎圖形的面積公式
1. 長方形面積 = (長 )(濶)
2. 三角形面積 = [(底)(高)]/2
3. 正方形面積 = (邊長)^2
4. 梯形面積 = [(上底) + (下底)](高) / 2
5. 菱形面積 = (對角線相乘)/2
6. 平行四邊形面積 = (底)(高)
7. 多邊形的面積，利用填補或分割為(1)至(6)的簡單圖形，再利用加或減的方法計算多邊形的面積。
三：圓形
1. 直徑 = 2 (半徑)
2. 圓周 = 圓的周界 = (直徑)(兀) = (2)(半徑)(兀) (兀 = 圓周率 = pi )
3. 圓面積 = ( 兀) ( 半徑)^2
四：扇形是一個圓形的一部分，它是由兩條半徑及一段弧(是圓周的一部分)所組成的。
1. 弧長 =( 圓周 )(圓心角 / 360度)
2. 扇形周界 = 半徑 + 半徑 + 弧長 = 2(半徑) + 弧長
3. 扇形面積 = (圓面形)(圓心角 / 360度)
五：立體
1. 總表面面積 = 所有面的面積總和 --->可以分開逐個面計算再加起來。
2. 體積 = (底面積)(高)
3. 體積等價關係；例如：放入水中物體(完全沉入水中)的體積 = 水所升高的體積
六：誤差累積
a. 長度
1. 最大絕對誤差 = (精確度) ( 1/2)
-->精確度是指量度工具的最小刻度 或 題目所要求的準確度，若是沒有特別注明，則為數目的最後一位數的位值。
2. 相對誤差 = ( 最大絕對誤差 ) / (真確值 )
3. 百分誤差 = (相對誤差)(100%)
4. 上限 / 下限 = (真確值 ) + / - ( 最大絕對誤差 )
b. 面積或體積
1. 面積上限 = (長度的上限 )(闊度的上限 ) 而 面積的下限 = (長度的下限 )(闊度的下限 )；體積上下限的計算亦如是。
2. 面積的最大絕對誤差(累積誤差) = (面積的上限 或 面積的下限 ) - ( 面積的真確值 )
體積的最大絕對誤差(累積誤差) = (體積的上限 或 體積的下限 ) - ( 體積的真確值 )
3. 面積或體積的百分誤差 = ( 面積或體積的累積誤差 ) /(面積或體積的真確值 )
二：基礎圖形的面積公式
1. 長方形面積 = (長 )(濶)
2. 三角形面積 = [(底)(高)]/2
3. 正方形面積 = (邊長)^2
4. 梯形面積 = [(上底) + (下底)](高) / 2
5. 菱形面積 = (對角線相乘)/2
6. 平行四邊形面積 = (底)(高)
7. 多邊形的面積，利用填補或分割為(1)至(6)的簡單圖形，再利用加或減的方法計算多邊形的面積。
三：圓形
1. 直徑 = 2 (半徑)
2. 圓周 = 圓的周界 = (直徑)(兀) = (2)(半徑)(兀) (兀 = 圓周率 = pi )
3. 圓面積 = ( 兀) ( 半徑)^2
四：扇形是一個圓形的一部分，它是由兩條半徑及一段弧(是圓周的一部分)所組成的。
1. 弧長 =( 圓周 )(圓心角 / 360度)
2. 扇形周界 = 半徑 + 半徑 + 弧長 = 2(半徑) + 弧長
3. 扇形面積 = (圓面形)(圓心角 / 360度)
五：立體
1. 總表面面積 = 所有面的面積總和 --->可以分開逐個面計算再加起來。
2. 體積 = (底面積)(高)
3. 體積等價關係；例如：放入水中物體(完全沉入水中)的體積 = 水所升高的體積
六：誤差累積
a. 長度
1. 最大絕對誤差 = (精確度) ( 1/2)
-->精確度是指量度工具的最小刻度 或 題目所要求的準確度，若是沒有特別注明，則為數目的最後一位數的位值。
2. 相對誤差 = ( 最大絕對誤差 ) / (真確值 )
3. 百分誤差 = (相對誤差)(100%)
4. 上限 / 下限 = (真確值 ) + / - ( 最大絕對誤差 )
b. 面積或體積
1. 面積上限 = (長度的上限 )(闊度的上限 ) 而 面積的下限 = (長度的下限 )(闊度的下限 )；體積上下限的計算亦如是。
2. 面積的最大絕對誤差(累積誤差) = (面積的上限 或 面積的下限 ) - ( 面積的真確值 )
體積的最大絕對誤差(累積誤差) = (體積的上限 或 體積的下限 ) - ( 體積的真確值 )
3. 面積或體積的百分誤差 = ( 面積或體積的累積誤差 ) /(面積或體積的真確值 )
中三_直角坐標幾何
一：已知兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)
1. 兩點間的距離 = [(x1 - x2)^2 + (y1 -y2)^2 ]^(1/2) [說明： 3^2 = 9, 16^(1/2) = 4 ]
2. 過兩點的直線的斜率 = (x1 - x2) / (y1 - y2)
二：在A﹑B的直線上多了一點P時，
1. 若點A﹑B和P是三點共線，則 AB的斜率 = AP的斜率 = PB的斜率。
2. 若 AB的斜率 = AP的斜率 或 PB的斜率 = AB的斜率 或 AP的斜率 = PB的斜率，則點A﹑B和P是三點共線。
3. 若點P以 r：s內分線段AB，即AP ：PB = r：s，設點P(x，y )，則
x =[ ( r)(x2) + (s)( x1)]/(r + s)
y = [( r)(y2) +(s)(y1)] / (r + s)
特殊情況：當P是AB的中點時，即 r ： s = 1：1，即AP = PB。故點P的坐標為
x = (x1 + x2 ) /2 ； y = ( y1 + y2 )/2
4. 若直線L過點Q且與AB平行，則 (直線L的斜率 ) = (AB的斜率)；反之亦然。
5. 若直線 l 過點W且與AB互相垂直，則 (直線 l 的斜率)(AB的斜率) = - 1 ；反之亦然。
6. 對於直線斜率的值的關係，可以用中文字 [ 米 ] 來幫助記憶__[ 橫零(0)，直無限(未下定義)，撇 正(+ )，捺是負(-) ]。
7. 特殊點：在x軸上的所有點，其y坐標都是0；在y軸上的所有點，其x坐標都是0。
1. 兩點間的距離 = [(x1 - x2)^2 + (y1 -y2)^2 ]^(1/2) [說明： 3^2 = 9, 16^(1/2) = 4 ]
2. 過兩點的直線的斜率 = (x1 - x2) / (y1 - y2)
二：在A﹑B的直線上多了一點P時，
1. 若點A﹑B和P是三點共線，則 AB的斜率 = AP的斜率 = PB的斜率。
2. 若 AB的斜率 = AP的斜率 或 PB的斜率 = AB的斜率 或 AP的斜率 = PB的斜率，則點A﹑B和P是三點共線。
3. 若點P以 r：s內分線段AB，即AP ：PB = r：s，設點P(x，y )，則
x =[ ( r)(x2) + (s)( x1)]/(r + s)
y = [( r)(y2) +(s)(y1)] / (r + s)
特殊情況：當P是AB的中點時，即 r ： s = 1：1，即AP = PB。故點P的坐標為
x = (x1 + x2 ) /2 ； y = ( y1 + y2 )/2
4. 若直線L過點Q且與AB平行，則 (直線L的斜率 ) = (AB的斜率)；反之亦然。
5. 若直線 l 過點W且與AB互相垂直，則 (直線 l 的斜率)(AB的斜率) = - 1 ；反之亦然。
6. 對於直線斜率的值的關係，可以用中文字 [ 米 ] 來幫助記憶__[ 橫零(0)，直無限(未下定義)，撇 正(+ )，捺是負(-) ]。
7. 特殊點：在x軸上的所有點，其y坐標都是0；在y軸上的所有點，其x坐標都是0。
訂閱：
文章 (Atom)