中四_第3課_方程與圖像

直線圖像三點定，
列表求值標於圖，
一線貫穿寫上名。

二元二次方程圖，
列表7點方足夠。
圖像名稱抛物線，
頂點乃是對稱點。
開口向上或向下。
兩軸截距為交點，
y軸截距定有一，
x軸截距零一二。

已知圖像解方程，
概念清晰便容易。
x軸截距的數目，
判別式去定多少！
根的性質要記起，
未知已知便易計。
對應位置求範圍，

聯立方程三解法，
代入加減消元法。
圖解方法有限制，
數值不能太準確。


yungsir_20081003

中三_第3課_續因式分解

因式分解方法多
方法一：
提取公因式和數。

方法二：
入形入格用恒等。
a^2 – b^2 = (a +b)(a – b)
a^2 +2ab + b^2 = (a +b)^2
a^2 –2ab + b^2 = (a – b)^2
a^3 – b^3 = (a - b)( a^2 + ab + b^2)
a^3 + b^3 = (a + b )( a^2 – ab + b^2)


方法三：
併項有時亦需用，
以上三法要先用。
若遇困難不放棄，
多加嘗試便成功。

方法四：
十字相乘法力大，
留心以下幾句話：
首尾項值因數定，
正負定位看規律。
十字相乘配中間。
若是符合橫寫式。
草稿展開作驗算，
錯對知曉如老師。

方法五：
因式定理中四學，
到時相遇再講數。

yungsir_20081003

數學溫馨小提示(二)_直線作圖

直線作圖三步曲，
列表作點求座標。
三點已足不用多，
兩軸刻度定平面。
要將三點放圖中，
一條直線貫穿它。
方程名字圖中寫，
這樣才會取滿分。


容sir_2008年09月16日

中四_第2課_二次方程

二次方程一般式，
ax^2 + bx + c = 0。
方程的解便是根，
左右兩方值相等。

求根方法有多種，
先將數式化一般。

因式分解最容易，
偶然或許用配方。
完全平方是手段，
(a +/- b)^2為首選。

若想更快又更準，
求根公式幫到你。
判別式定根性質，
大於0相異實根，
等於0相同實根，
小於0没有實根。

已知方程根性質，
可求式中未知值。

高階方程靠換元，
換作二次方程式。
求根求解没難道，
增根要懂留或捨。
代入原式便知曉！


容sir_2008年09月12日

中二_第2-4課_多項式﹑公式﹑因式分解與恒等式

單項式，真特別
字母數字都可以
相乘成為單項式
加減合成多項式
項數係數和次數
獨自走開常數項

多項式﹑加減法
同類項﹑才可用
乘法要用展開式

主項變換成主角
親疏有別有秩序
仿如計算方程解
移加作減可相反
移乘入除亦可反
代入已知求未知
小心計算避免錯
錯了亦要再計過

因式分解第一式
運用短除抽同類
L形狀，寫答案
因式分解第二式
没有公因用併項
入形入格用恒等
每種方法都要試
你不試你會後悔
代數分子似分數
同分母分子加減
異分母求L.C.M.
寫答案前要約簡

H.C.F.：
有相同，取較小，
没相同，全不要。
L.C.M.：
有相同，取較大，
没相同，全都要。

同分母，分母照寫，
分子相加減；
異分母，化同分母，
情如同分母。
代數分式乘與除
因式分解為首選
約簡公因數和式
恒等式，說證明
左向右，右向左
左方右方各自做
全部都是求相等
相等便是恒等式

容sir_2008年09月11日

中三_第2課_續百分法

部分整體忘不了
一條公式解決了
A是B的百分之幾
A比B多百分之幾

百分變化知多少
新值原值忘不少
新原相差是改變
改變可以正零負
除以原值乘百分
一切運算在其中

本金期率和期數
利息求法有兩種
單利複利各不同
複利留意計息期

複利算法多推廣
增長衰退亦同樣

日常生活百分數
稅收差餉亦要知
打工要交薪俸稅
中三時學將來用

容sir_2008年09月11日

數學溫馨小提示(一)_做練習要訣

一：
練習題目幾至幾，日期審題要緊記。
假設作圖要常記，單位簡答也要理。
條件有用定要理，唔用做到嚂哽嚟！

二：
睇過不如想過，想過不如做過，
偶然或會做錯，定要重新計過。

三：
題題計，題題抵，
你唔計，你蝕底！


容sir_2008年09月04日

中三_第1課_指數定律

兩個定義要緊記，
兩個表達分清楚。
同底相乘-->次方相加，

同底相除-->次方相減，

次方上再有次方-->次方相乘。

不同底數各自計，
系數變數各自算。

指數方程求未知，
右左兩方要平等，
指數便會是相等。
科學記數法
數目太大或太小，
全寫出來真講笑，
善用科學記數法，
幫到你時又奇妙！
N = d × 10^n，
1 <= d < 10，(n是整數)

大化小
小數點向左進了n個位，
次方n為正整數。
2345000 = 2.345 × 10^6

小化大
小數點向右退n了個位，
次方n為負整數。
0.000024 = 2.4 × 10^ – 5

進制系統
十進制，容易記，
逢十進1是機制。
數字一共有十個，
(數字)(位值)=數值，
其它進制同概念，
小心留意一定掂！

其它進制的數目，
若要化為十進制。
展開連加求數值，
小心去做定準確。

十進制數變其它，
什麼進制為除數。
短除餘數右邊走，
答案完成逆上寫。


容sir_2008年09月03日

中二_第1課_估算與近似值

日常量度常靠估
近似值，唔辛苦
工具量度刻度小
精確度數準到妙
選擇工具要適宜
單位要求要留意

估算策略知多少
四捨五入有玄妙
上下捨入同樣記
最小刻度為要求

近似誤差取多少
有效數字忘不了
捨入量度和估算
同有相差意不同

量度真確有相差
自然命名為誤差
絕對誤差
最大絕對誤差
相對誤差
百分誤差
上限下限要緊記
表達形式要記起

麒傑2008年09月03日

中四_第1課_數與函數

數系內容知多少
有理無理兩分家
有理拆開整和分
整數再分三部分

循環小數化分數
善用乘法有著數

不盡根﹑無理數
整方根﹑最簡式
互相化﹑用定義

四則運算多留意
加減法，同類項
乘法時候要化簡

分母無理最麻煩
有理化它便簡單
計算有如計分數

函數概念要記清
一一對應心水清
獨立變數應變數
分清主副做數易

代入數字求數值
已知數值求未知
兩種方法皆要懂
綜合運用解難題

麒傑2008年09月03日

有向數四則運算

四則運算很容易，
先定符號，
後計數值。
兩項四則要留意，明白真義為基本，
下列口訣助你記，成績要好要勤力！

同號相加，符號如舊，數值相加。
異號相減，符號跟大者，數值大減小。

同號相乘除，符號為正，數值相乘除。
異號相乘除，符號為負，數值相乘除。

容sir2008年7月30日

最大公因數及最小公倍數

H.C.F.
有相同，取較小，
没相同，全不要。

L.C.M.
有相同，取較大，
没相同，全都要。

計算分數或分式，多加留意以下事項：
同分母，分母照寫，分子相加減；
異分母化作同分母，
計算就如同分母運算。
合併後，上下約簡公因式(數)。

單位化聚

單位化聚知多少？
比倍要知曉！
大化小用乘法！
小化大用除法！
乘以多少？除以多少？
比倍便是了！

長度：
1km = 1000m
1m = 100 cm
1 cm = 10 mm

1km^2 = (1000 m)(1000 m ) = 1000000 m^2
1 m^2 = (100 cm )(100 cm ) = 10000 cm^2

1 km^3 = (1000 m )(1000 m)(1000 m) = 1000 000 000 m^3
1 m^3 = (100 cm )(100 cm)(100 cm) = 1000 000 cm^3

容量：
1L = 1000mL
1mL = 1 cm^3

重量：
1kg = 1000g

時間：
1小時 = 60分鐘
1分鐘 = 60秒

角度：
1度 = 60 分
1分 = 60 秒

明白加上善用，一切掌握在手中！

百分數

分母100的分數，
%表示百分之一。
分數小數﹑百分數，
三者互化時常用，

百分數化分數，
去%號化作分母100的分數，
約簡答案便完成。
分數回轉百分數，
乘以100%便可以，
快與慢看能力。
多練習會提高！

分數化小數用除法！
小數化分數，
先寫成分母為1的分數，
再擴分和約簡便成了。

百分數化小數，
去%號，小數點向左移兩位。
遇上帶有分數的百分數，可以先化為小數，再移小數點。
或化作分數，用長除法去求小數。
小數他作百分數，
小數點向右移兩位，再加上%。
或乘以100%去求出百分數。

分數

分數三部分：
分子﹑分母分數線，
母大於子，真分數，
子大於母，假分數，
整數加上真分數，帶分數，

分數加減法：
同分母，分母如舊，分子相加減。
異分母，先化同分母-->分母的L.C.M. 往後如同分母運算。
(可參考最小公倍數L.C.M.和最大公約數H.C.F.的詩)

分數乘法：
先化作真分數或假分數，
分子乘以分子，
分母乘以分母，
若要快一點，中途互相約。
運用之妙在於多思考，多練習，多創新！

分數除法：
除以一個分數(要先化它為真分數或假分數) = 乘以這個分數的倒數。
然後再以乘法的方法去做便可以了！
(兩個有理數的積是1，它們是互為倒數)

四則運算

先乘除，後加減，
若同價，左至右。
有括號，須先計，
不守規，會算錯。

三角比

三角比值常留意，
直角三角形內發生事，
有了斜邊﹑指定角，
正弦﹑餘弦和正切，
一切都有定義排。
計算時候看條件，
代入已知求未知。
特殊比值三角尺，
利用長度容易求，
亦可利下方法：
正弦比值01234的二次根除以2，
餘弦比值43210的二次根除以2，
正弦比值除以餘弦比值 = 正切比值。
雖然容易亦要記，
用心用力才會好！

根式化簡及四則運算

2次方，2次根，
出門2合一，入門一分2。
N次方，N次根，
出門N合一，入門一分N。
短除為求最簡式，
出門留下各所需。
有理分母化，源為簡單化。
根式同類相加法，運算有如代數式。
同幂(根號)相乘除，底數相乘除，幂(根)號如往昔。
指數﹑根數常變換，數學之妙在乎心！

公式主項

表達形式多留意，
1：令x成為公式2x - y = 1的主項
2：如果2x - y = 1，以y表x。

主項在左，客在右，
分數化整方便計。
同類移項圖合併，
親疏有別論先後。

移項技巧：
移加法作減法，
移乘法作除法。
移方根作次方，
移對數作指數。
以上四句，反之亦然！

多項式因式分解

你有我有抽公因， (公因-->公因數﹑公因式 )
各有所屬用併項。
入形入格用恒等，
(a+ b)^2 = a^2 + 2ab + b^2；
(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2；
(a+b)(a-b) = a^2 - b^2；
(a +b)(a^2 - ab + b^2) = a^3 + b^3；
(a - b)(a^2 + ab + b^2) = a^3 - b^3。
有時需要混合用。
未能解決用十字，
首尾兩項因數定。
交叉相乘配中間，
兩相符合橫寫式。
尚有公式中四學，
運用之妙在乎心！

多項式的運算

四則有法要依足，
括號展開用乘法。
指數定律常緊記，
同類加減用合併。
答案變數用降冪，
一切小心做複算。

指數定律

兩個定義
1. a^n = n個a連乘
2. a^0 = 1

兩個表達
1. a^(-n) = 1 / (a^n) -->負指數 變成正指數
2. a^(n/m) = (a^n)^(1/m) --> 指數形式 變成 根式形式

同底相乘-->冪相加
同底相除-->冪相減
冪上有冪-->冪相乘
不同底數各自計
系數變數各自算

長度﹑面積和體積

周界﹑面積﹑體積知多少？
度度﹑量量﹑計計便知曉！
單位化聚又如何？
明白對換便容易。
大化小，用乘法，
小化大，用除法。
面積公式記基本，
基本公式要熟記，
複合圖形繁化簡！
面積乘高變體積！
相似圖形看對應。
長度1：1，
面積比平方。
體積比立方。
切記要相似，
否則相差萬千里。

計算相似圖的長度﹑面積和體積關係的題目所留意步驟：
1：找出似圖形；
2：列出等價關係式；
3：代入已知條件去求未知量。
備注：有直接和間接法去求解。

中二_平面幾何_線與角的關係

平面幾何_直線與角的關係你的名字叫角，兩臂環抱，相聚於一點(頂點)
大於0度而小於90度是銳角﹐
直角90度。
大於90度而小於180度是鈍角，
平角是180度。
大於180度而小於360度是反角，
周角是360度。
鄰角是兩角相鄰的角，同頂點及有同一條角臂。

一：與一條直線有關的角：
1. 直線上的所有鄰角和是180度。(簡寫：直線上的鄰角)
2. 同頂角是360度。

二：與兩條直線有關的角：
1. 對頂角有同頂點，角臂的方向相反，故能形成兩條直線，它們的值是相等的。與三條直線有關的角。

三：三條直線與角的關係：
1. 三條都是相互平行的線，故没有角的關係。
2. 二條直線被第三條所截，形成了三線八角：
a. 在同一位置上的角，稱為同位角。共有4對。
b. 在那兩條直線內，在截線的同一旁的兩隻角，稱為同旁內角，共有兩對。
c. 在那兩條直線內，在截線的左右兩邊成為一個交乂形的兩對角，稱為(內)錯角。共有兩對。在這些情況下的角，只有其名並無其實。
3. 三線八角，有一對是平行線，則有以下特點：
a. 每對同位角會相等。 理由： ( 同位角，線1 //線2)
b. 每對同旁內角相加等180度。理由：(同旁內角，線1 //線2)
c. 每對(內)錯角相等。理由：(錯角，線1 //線2 )

在計算涉及平行線與角的題目時，要留意以下的思考過程：
a. 了解題目所求的未知量；
b. 找出不同形式下有一對是平行線的三線八角；
c. 根據角與角的關係後去決策採用何種方法去做-->同位角﹑同旁內角﹑錯角。
d. 小心連繫當中角與角的關係而去進行解題。
方法道路有很多，選擇過程很重要，容易快捷為首選，合適自己最重要。


三線八角除了是有關同位角，同旁內角﹑(內)錯角的定義及在其中一對是平行線的關係外，還可以組成一個三角形。每個三角形有三隻內角，而三個內角的和是等於180度(三角形的內角和)。
若三隻內角分別為a﹑b和c，則a + b + c = 180度(三角形的內角和)
每個三角形都有一隻外角，內角和外角的和是180度。例如：a的外角為x，則a + x = 180度 (直線上的鄰角)以某一隻內角的外角為主角，則其它兩隻三角形內角被稱為這該外角的內對角。而它的值是等於它的兩隻內對角之和。
(三角形的外角)a的外角是x，則b和c是x的兩隻內對角。因為a + b + c = 180度及a +x = 180度，故x = b +c所以往後用時： x = b + c (三角形的外角)

善用三線八角，
計數不愁寂寞，
心情不會失落，
時時開心快樂！

多線多角知多少？多邊形的內角和可以如何求？
180度(n - 2 ) (多邊形內角和) -->當中n為多邊形的邊的數目。
正多邊形是指一個多邊形的邊和內角都分別相等-->等邊等角。
由於每隻內角都相等，故每隻外角亦隨之而相等。
故其每一隻內角 = [180(n - 2) / n ] 度多邊形的外角和又如何？
記起昂坪360，便會知道多邊形的外角和 = 360度 (多邊形的外角和)

中二_不等式

一： 三分律 (兩個數出現在世界上，它們之間有三種可能)
1. a > b ，a = b ，a < b

2. a > = b ( a 大於或等於 b ) ； a <= b (a 小於或等於b )，等式只是 取了等於這個可能。

二：傳遞律：
如果：a > b ，b > c ，則 a > c。

三：加法律：如果：a > b，則 a + c > b + c。

四：乘法律：如果：a > b，

1. 如果 c > 0，則 ac > bc；

2. 如果 c = 0，則 ac = bc；

3. 如果 c < 0，則 ac < bc。

五： 解一元一次不等式，方法和解一元一次方程的形式一樣。

備注：當不等式的左右兩方同時乘以負數時要特別留意其值的變化。

中二_公式主項

公式主項知多少？細心回味便知曉！
誰要變成公式主項，便將它孤單放在等式的左方，

計算步驟有四步：
一：化成整式為上策；

二：含有主項的放在等式的左方。

三：合併同類項(利用因式分解)；

四：利用除法使公式主項的系數是+1(隱藏的)，便是大功告成了！

例子： (3/x) +( y/m) = (4/n) (將x變是公式的主項)

步驟一：(3m + xy)/xm = 4/nn(3m + xy) = 4xm3mn + nxy = 4xm

步驟二： nxy - 4xm = - 3mn

步驟三：x(ny - 4m) = -3mn

步驟四： x = ( -3mn) / ( ny -4m) 或 (3nm) /(4m - ny)有了主項的式，只是利用不同的資料便可以求出它的值。

問題特色：

1. 將 x 變成公式 __________________的主項 ，即是將答案寫成 x = ______________。

2. 以 _______和 __________表示 x 。即是將答案寫成 x = ______________。

3. 將公式__________________的主項變換成 x 。即是將答案寫成 x = ______________。

4.求 x 的值。即是將答案寫成 x = ______________(答案可以是數值﹑或是如公式主項一樣做法)

中二_近似值與估算

一：估算方法有很多，四捨五入最常見。
a. 4.562 = 4.56 ( 準確至最接近2位小數)

b. 4.562 = 4.5 ( 準確至最接近1位小數 )

二：上捨下捨看情況，預多預少時常要。
a. 4.2 = 5 (上捨入至最接近整數 )

b. 4.2 = 4 (下捨入至最接近整數 )

三：真確值﹑誤差﹑近似值，選誰要看題所要。絕對誤差近減真﹐ (量度值減去真確值，其相差便是絕對誤差 )

一支原子筆長度為5.6 cm，現在量度為5.62 cm。
長度的絕對誤差為 5.62 - 5.6 = 0.02 cm。

四：最大絕對誤差容易求。先看量度要求的精確值，將其乘以二分之一。若然没提及，最小位值乘以二分之一。
a. 4.63 kg ---> 最大絕對誤差 = ( 0.01 kg ) ( 1/2) = 0.005 kg

b. 4.6 m (準確至最接近0.1m) ---> 最大絕大誤差 = ( 0.1 m ) ( 1/2 ) = 0.05 m

c. 46000 (準確至 1000 ) ----> 最大絕對誤差 = (1000 ) ( 1/2) = 500

d. 46000 m ----> 最大絕對誤差 = ( 1 ) ( 1/2 ) = 0. 5 m

五：可接受的數值的範圍是介乎真確值的上﹑下限。
a. 上限 = 真確值 + 最大絕對誤差

b. 下限 = 真確值 - 最大絕對誤差

六：相對誤差 = ( 最大絕對誤差 ) / (真確值) 。

七：百分誤差 = 相對誤差 乘上百分率 =( 最大絕對誤差 ) / (真確值) x 100% 。

八：數字有分重要性，最左最重要，同樣最有效。1﹑2﹑3﹑4位，看看要求才去要，去到那一位，後者便要四捨五入法。
a. 23445 --> 23400 (準確至3位有效數字)；

b. 23445.578 --> 23400(準確至3位有效數字)；

c. 0.0023445 --> 0.00234(準確至3位有效數字) ；

d. 234000 -->可以是一個3位或4位或5位或6位有效數字的數，若234000(準確至100位)--則它是一個有4位有效數字的數。

亦要留意!

e. 23400.0-->是一個6位有效數字的數。

f. 2.34000-->是一個有6位有效數字的數字；

g. 0.00234000-->是一個有6位有效數字的數。

備注： 有效數字指出數字的重要性，亦說出你所說的數字重要程度到那裏。如一間屋值2355670元，你可以說是2佰萬(準確1位有效數字)，亦是說約2百40萬(準確至2位有效數字)。還可說是約246萬(準確至3位有效數字)。所以都要看你想說多少，別人要求的情況來決定的。

中二_因式分解

因式分解五步曲：
中二：
一：抽同類項：

先看有否相同處，
先抽公因數或公因式。

二：利用恒等式：

觀其形，驗其身。
若符合，用恒等。
不符合，等一等。
1. a^2 + 2ab +b^2 = ( a + b)^2
2. a^2 - 2ab +b^2 = ( a - b )^2
3. a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)

中三或以上：
1. a^3 - b^3 = (a - b )(a^2 + ab + b^2)
2. a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2 )
備注：其中 a^2 表示a的2次方。a^3表示a的3次方。

三：併項：

併項有時很有用，
二二合併是常見。
間中亦會有例外，
重點在於多觀察。
多去常試多練習，
熟能生巧成績高。
思考之後多發問，
創新獨到最有為！

四：十字相乘法：

十字相乘法可行，
中三課程才會學。
首尾數值因數定，
十字相乘配中間。
若然符合成答案，
因式橫寫不會錯。

五：
更加高階多項式，
因式分解用定理。
因式定理很好用，
設定函數代因數，
因數要靠常數項。

六：
逐步驗證是需要，
全部不合亦無法，
唯用寫下不能因式分解吧！

中二_畢氐定理

畢氏定理
勤力善用時分秒，踉踉上口平方表。
整方根式化最簡，善用平方不用煩。
平方根中分正負，留心內容不會錯。
有理無理成實數，實數線上從此滿。
分母不放無理數，否則便要有理化。
運用公式很容易，只有有心不怕遲。
勾股定理中國名，畢氏定理今常用。
大家意義都一樣，同在直角三角形。
直角對邊名斜邊，斜邊平方是最大。
另外兩邊平方和，彼此相等求未知。
三角形中最長邊，計算它的平方值。
再找另外兩條邊，求出他們平方和。
若然相等便最好，畢氏定理逆定理。
求證直角三角形？它的最長邊對角。
自然便是一直角，證明完成寫理由。

中二_聯立二元一次方程組

一：圖解法
a. 解聯立二元一次方程組你有你的路，我有我的路，若你和我在無盡的平原上永不相逢，那麼你我便是走在兩條平行直路上。(無解)

b. 但是有緣的話，你我會在某點相遇。(方程組便有一個相交點，亦即是一個解)

c. 我們更有緣的話，我們會一起走在同一條直路上。(有無限解﹑所有實數解)

備注：畫圖時用三點定直線，看看它們有否相遇？便能找出它們的解。

二：代入法
a. 你我都要成為主角才可以彼此代替。(公式主項)

b. 你中有我，我中有你。[代(1)入(2)或是代(2)入(1)]我們便可以成為一整體。(一元一次方程式)只要細心解一解，便能得出結果。

c. 再返回自己的家，便可以找到真我。(代入已求的其中一個未知數值，便可以再求另一未知數值。)最後便是大團圓結局。(聯立方程組的解是：x = ____，y = _________。)

三：加減消元法
a. 在你我的心中，我們想先消去那一個元(未知數)。

b. 定了是誰！看看他的系數(絕對值)是否一樣？
(i) 相同：將兩個相加或相減，然後求出另一個元的值。 [(1)+(2)或(1) - (2) 後再解一元一次方程式]
(ii) 不相同，先將心中想消去的元的系數化成一樣，再根據(i)的方法去計算。

c. 再返回自己的家，便可以找到真我。(代入已求的其中一個未知數值，便可以再求另一未知數值。)最後便是大團圓結局。(聯立方程組的解是：x = ____，y = _________。)


四：文字應用題：
a. 解題策略解題要清楚，理解要深入；

b. 設立適當的未知量；(可以直接設法--> 題目要求求什麼便設它為未知量，或間接設法-->有時候為了方便計算 )

c. 利用未知量去列出方程關係式；

d. 利用消元(代入或加減)法去解聯立方程組；

e. 驗算其答案是否正確；

f. 最後要答題。

中二_三角比的認識

一：基礎知識
1. 1度(0)等於60分(')，1分(') = 60秒('')
2. 畢氏定理 ；在一個直角三角形中，斜邊的平方 = 兩條直角夾角邊的平方之和
即： (斜邊)^2 = (夾角邊)^2 + (夾角邊)^2
3. 證明一個三角形是否是一個直角三角形。方法如下：
先求最長的邊的平方的值，結果 = y (計算後的值)
再求另外兩條邊的平方之和 ，結果 = x (計算後的值)
a. 若 y = x ，則這條最長邊的對角是一個直角，這個三角形是直角三角形。(畢氐定理的逆定理)
b. 若 y 不等於 x，這個三角形不是直角三角形。(畢氐定理的逆定理)

二：三角比
在一個直角三角形中，除直角外的其中一個內角 x。
a. 角x的正弦，即 sin x = (角x的對邊 ) / 斜邊 。
--->若x的值由0度慢慢增加至90度，則 sin x的值是由0增大至1。

b. 角x的餘弦，即 cos x = (角x的鄰邊) / 斜邊。
--->若x的值由0度慢慢增加至90度，則 cos x 的值是由1減少至 0。

c. 角x的正切，即 tan x = (角x的對邊 ) / (角x的鄰邊 ) 。
--->若x的值由0度慢慢增加至90度，則 tan x 的值是由0增大至很大的正數值，當 tan 90度 時是未下定義。

三：題目類型
a. 已知一個角(x)，求該角的三個三角比值( sin x = ？，cos x = ？及 tan x = ？)

b. 已知三角比值，求該角的值。(運用等價關係 )
例如：
1. sin x = 0.5 --> 意思是某個角的正弦比值 = 0.5 ，求這個角。
x = sin^-1 ( 0.5)
x = 30度

2. sin (x + 5度 ) = 0.5
(x + 5度) = sin^-1(0.5)
x + 5度 = 30度
x = 25度。

3. sin (x + 5度 ) - 0.2 = 0.3
sin (x + 5度 ) = 0.5
(x + 5度) = sin^-1(0.5)
x + 5度 = 30度
x = 25度。
4. 另外有兩個三角比的運算亦有相同的形式。

c. 在一個直角形三角形，利用三個三角比的定義去求未知量。
sin x = (角x的對邊 ) / 斜邊
cos x = (角x的鄰邊) / 斜邊
tan x = (角x的對邊 ) / (角x的鄰邊 )

由於以上三條式，都有三個未知量，若要求當中一個，另外兩個需要給出值(可以直接給出，亦可以間接給出-->透過另一個三角比，或畢氐定理去求未知條件)

d. 綜合題：多過一次運用三角比的關係去完成的題目。


備注：看清三角形，角與邊的關係，用對相關的三角比，小心計算，用計算機要留意，自然迎刃而解。

中三_四邊形的特性_中點定理和截線定理

二：中點定理
任意構造一個三角形ABC，其中任意兩條邊AB和AC的中點分別是P和Q，將PQ相連成一直線。
因為：AP = PB及AQ = QC，
則： PQ //BC (中點定理)
及 PQ = 1/2 BC (中點定理 )
證明以上的結論，可以運用平行四邊形的性質去完成。
(由於AB不一定等於AC，所以AP不一定等於AQ，它們相等只是在特殊情況下發生的。)
在做練習時，要留意題目的條件是否正確，否則便會用錯定理。

三：截線定理
直線L1//L2//L3，這三條直線被兩條截線XY和WZ所截且分別相交於P﹑Q﹑R和H﹑K﹑J。
即：如果L1//L2//L3，
則：PQ：QR = HK：KJ (截線定理 )
證明以上的結論，可以運用平行四邊形的性質去完成。


備注：在做有關的數學題，通常容易將以上的兩個定理用錯，以下有一個小提示：
若果題目提及有兩條或兩條以上的平行線，而又知道其中一條截線的比例，則建先考慮用截線定理去解題。
-->運用其性質，比例相等去求其它截線的比；或 利用相似三角形的對應邊性質。
若截線的比例剛好是1：1。則可以求另外截線的比例，再運用中點定理去求另外的未知量。

看清條件，大膽去試，小心驗證-->是做數學的必要因素！

中三_四邊形的特性

一：四邊形的分類
1. 没有平行邊的四邊形的分類

A. 不規則四邊形

B.鳶形，它的定義：兩對相鄰的邊相等的四邊形
它的性質：
(i) 兩對相鄰的邊分別相等；
(ii) 對角線互相垂直；
(iii) 其中一條對角線是圖形的對稱軸。
證明一個四邊形是一個鳶形，利用鳶形定義，即其中兩對鄰邊分別相等的四邊形。

2. 有平行邊的四邊形的分類

A. 梯形，它的定義：有一對對邊平行的四邊形
它的性質：有一對對邊平行；
利用其性質可以計算同旁內角的角度，若梯形的兩條腰相等-->等腰梯形，故底角相等(等腰梯形性質。
證明一個四邊形是一個梯形，利用梯形定義，即其中一對對邊平行的四邊形。

B.平行四邊形，它的定義：有兩對對邊平行的四邊形
它的性質：
(i) 兩對對邊的長度相等-->平行四邊形的對邊；
(ii) 兩對對角分別相等--> 平行四邊形的對角；
(iii) 兩條對角線互相平分-->平行四邊形的對角線；
若要證明以上三個性質，可以利用全等三角形的性質。

若證明一個四邊形是一個平行四邊形，可以用以下其中一個方法：
(i) 平行四邊形的定義 (兩對對邊分別平行 )；
(ii) 對角線互相平分；(對角線平分)
(iii) 兩對對邊分別相等；(對邊相等)
(iv) 兩對對角分別相等；(對角相等)
(v) 一對對邊平行且相等；(對邊平行且相等)
當中涉及證明
-->平行線 ( 運用：同位角相等﹑同旁內角互補﹑錯角相等)
-->邊長相等及角度相等 (運用：全等三角形﹑相似三角形 )

B.1長方形(一個特殊的平行四邊形)，它的定義：每個內角是都是直角的平行四邊形。 (其中一個內角是直角，其餘的自然成立)
它的性質：
(i) 所有平行四邊形的性質；
(ii) 對角線相等。 --> (長方形性質)
證明一個四邊形是一個長方形，需要證明以下兩部分內容：
(i) 該四邊形是一個平行四邊形；及
(ii) 該四邊形的其中一隻內角等於90度。
-->理由：有一個內角是直角的平行四邊形 或 長方形定義。

B.2菱形(一個特殊的平行四邊形)，它的定義：四條邊相等的四邊形-->由此知它也是一個平行四邊形(對邊相等的四邊形)，故菱形的定義可以進一步寫成：四條邊相等的平行四邊形。
它的性質：
(i) 所有平行四邊形的性質；
(ii) 對角線平分各內角；(菱形性質)
(iii) 對角線互相垂直。(菱形性質)
證明一個四邊形是一個菱形，需要證明以下兩部分內容：
(i) 該四邊形是一個平行四邊形；及
(ii) 該四邊形的鄰邊相等。
理由：鄰邊相等的平行四邊形 或 菱形定義

B13 正方形(一個特殊的長方形)，它可以被定義為四邊相等的長方形。
B23 正方形(一個特殊的菱形) ，它可以被定義為所有內角是直角的菱形。
由此正方形的定義-->四邊相等且所有內角是直角的平行四邊形。
它的性質：
(i) 所有長方形和菱形的性質；
(ii) 每條對角線與每條邊成45度。(正方形性質)
證明一個四邊形是一個正方形，可以用以下三個方法：
(i) 先證明它是一個長方形，再證明這個長方形是鄰邊相等。-->鄰邊相等的長方形
(ii) 先證明它是一個菱形，再證明這個菱形的其中一隻內角是90度。-->一隻內角是直角的菱形
(iii) 先證明它是一個平行四邊形，再分別證明它的鄰邊相等及其中一隻內角是90度。--->正方形定義 (四邊相等且所有內角是直角的平行四邊形)

中二_面積和體積

一：周界 = 密封該圖形的所有邊長之和。

二：基礎圖形的面積公式
1. 長方形面積 = (長 )(濶)

2. 三角形面積 = [(底)(高)]/2

3. 正方形面積 = (邊長)^2

4. 梯形面積 = [(上底) + (下底)](高) / 2

5. 菱形面積 = (對角線相乘)/2

6. 平行四邊形面積 = (底)(高)

7. 多邊形的面積，利用填補或分割為(1)至(6)的簡單圖形，再利用加或減的方法計算多邊形的面積。

三：圓形
1. 直徑 = 2 (半徑)

2. 圓周 = 圓的周界 = (直徑)(兀) = (2)(半徑)(兀) (兀 = 圓周率 = pi )

3. 圓面積 = ( 兀) ( 半徑)^2

四：扇形是一個圓形的一部分，它是由兩條半徑及一段弧(是圓周的一部分)所組成的。
1. 弧長 =( 圓周 )(圓心角 / 360度)

2. 扇形周界 = 半徑 + 半徑 + 弧長 = 2(半徑) + 弧長

3. 扇形面積 = (圓面形)(圓心角 / 360度)

五：立體
1. 總表面面積 = 所有面的面積總和 --->可以分開逐個面計算再加起來。

2. 體積 = (底面積)(高)

3. 體積等價關係；例如：放入水中物體(完全沉入水中)的體積 = 水所升高的體積

六：誤差累積
a. 長度
1. 最大絕對誤差 = (精確度) ( 1/2)
-->精確度是指量度工具的最小刻度 或 題目所要求的準確度，若是沒有特別注明，則為數目的最後一位數的位值。

2. 相對誤差 = ( 最大絕對誤差 ) / (真確值 )

3. 百分誤差 = (相對誤差)(100%)

4. 上限 / 下限 = (真確值 ) + / - ( 最大絕對誤差 )

b. 面積或體積
1. 面積上限 = (長度的上限 )(闊度的上限 ) 而 面積的下限 = (長度的下限 )(闊度的下限 )；體積上下限的計算亦如是。

2. 面積的最大絕對誤差(累積誤差) = (面積的上限 或 面積的下限 ) - ( 面積的真確值 )
體積的最大絕對誤差(累積誤差) = (體積的上限 或 體積的下限 ) - ( 體積的真確值 )

3. 面積或體積的百分誤差 = ( 面積或體積的累積誤差 ) /(面積或體積的真確值 )

中三_直角坐標幾何

一：已知兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)
1. 兩點間的距離 = [(x1 - x2)^2 + (y1 -y2)^2 ]^(1/2) [說明： 3^2 = 9, 16^(1/2) = 4 ]

2. 過兩點的直線的斜率 = (x1 - x2) / (y1 - y2)

二：在A﹑B的直線上多了一點P時，
1. 若點A﹑B和P是三點共線，則 AB的斜率 = AP的斜率 = PB的斜率。

2. 若 AB的斜率 = AP的斜率 或 PB的斜率 = AB的斜率 或 AP的斜率 = PB的斜率，則點A﹑B和P是三點共線。

3. 若點P以 r：s內分線段AB，即AP ：PB = r：s，設點P(x，y )，則
x =[ ( r)(x2) + (s)( x1)]/(r + s)

y = [( r)(y2) +(s)(y1)] / (r + s)

特殊情況：當P是AB的中點時，即 r ： s = 1：1，即AP = PB。故點P的坐標為
x = (x1 + x2 ) /2 ； y = ( y1 + y2 )/2

4. 若直線L過點Q且與AB平行，則 (直線L的斜率 ) = (AB的斜率)；反之亦然。

5. 若直線 l 過點W且與AB互相垂直，則 (直線 l 的斜率)(AB的斜率) = - 1 ；反之亦然。

6. 對於直線斜率的值的關係，可以用中文字 [ 米 ] 來幫助記憶__[ 橫零(0)，直無限(未下定義)，撇 正(+ )，捺是負(-) ]。

7. 特殊點：在x軸上的所有點，其y坐標都是0；在y軸上的所有點，其x坐標都是0。

學好數學

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容sir

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